Giải bài tập toán 12 trang 23

      122

Hướng dẫn giải Bài §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ tuổi độc nhất của hàm số, Chương 1. Ứng dụng đạo hàm nhằm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, sách giáo khoa Giải tích 12. Nội dung bài giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 bao gồm tổng phù hợp phương pháp, định hướng, phương thức giải bài xích tập giải tích có vào SGK để giúp đỡ các em học viên học tập giỏi môn tân oán lớp 12.

Bạn đang xem: Giải bài tập toán 12 trang 23


Lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định bên trên tập $D$.

– Số $M$ là quý hiếm lớn nhất (GTLN) của hàm số $f$ trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) le M,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext làm thế nào để cho f(x_0) = M hfill cr ight.)

Kí hiệu : (M=undersetDmax f(x).)

– Số $m$ là cực hiếm nhỏ dại độc nhất (GTNN) của hàm số $f$ trên $D$

(⇔left{ matrixf(x) ge m,forall x in D hfill crexists x_0 in D ext làm thế nào cho f(x_0) = m hfill cr ight.)

Kí hiệu: (m=undersetDmin f(x).)

2. Cách tính GTLN cùng GTNN của hàm số bên trên một đoạn

Định lí:

Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều phải có GTLN với GTNN trên đoạn kia.


Quy tắc tra cứu GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) thường xuyên trên đoạn

– Tìm các điểm xi ∈ (a ; b)(i = 1, 2, . . . , n) nhưng mà tại đó f"(xi) = 0 hoặc f"(xi) không khẳng định.

– Tính f(a), f(b), f(xi) (i = 1, 2, . . . , n) .

– khi đó: (undersetmax f(x)=max left f(a); f(b); f(x_i) ight \);

(undersetmin f(x)=min left f(a); f(b); f(x_i) ight ;)

Để search GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác minh trên tập đúng theo D, ta hoàn toàn có thể khảo sát điều tra sự đổi mới thiên của hàm số bên trên D, rồi căn cứ vào bảng biến hóa thiên của hàm số cơ mà Kết luận về GTLN cùng GTNN của hàm số.

Dưới đó là phần Hướng dẫn vấn đáp các câu hỏi và bài tập vào phần hoạt động của học sinh sgk Giải tích 12.

Câu hỏi

1. Trả lời câu hỏi 1 trang đôi mươi sgk Giải tích 12

Xét tính đồng trở nên, nghịch trở nên và tính giá trị lớn số 1, giá trị nhỏ dại nhất của hàm số:


a) $y = x^2$ bên trên đoạn $<-3; 0>$;

b) (y = frac (x + 1)(x – 1)) bên trên đoạn $<3; 5>$.

Trả lời:

a) Ta có: $y’ = 2x ≤ 0$ bên trên đoạn $<-3; 0>$. Vậy hàm số nghịch vươn lên là bên trên đoạn $<-3,0>$.

lúc đó bên trên đoạn $<-3,0>$: hàm số đạt cực hiếm lớn số 1 tại $x = -3$ với cực hiếm lớn số 1 bởi $9$, hàm số đạt cực hiếm nhỏ duy nhất tại $x = 0$ và quý hiếm nhỏ dại độc nhất vô nhị $= 0$.

b) Ta có: (y’ = – frac2(x-1)^2)

lúc đó trên đoạn $<-3,5>$: hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = 3$ cùng quý hiếm lớn số 1 bởi $2$, hàm số đạt giá trị nhỏ dại nhất trên $x = 5$ với cực hiếm bé dại tuyệt nhất $= 1.5$.

2. Trả lời câu hỏi 2 trang 21 sgk Giải tích 12

*

Trả lời:

Hàm số:

(y = left{ matrix{– x^2 + 2,;,, – 2 le x le 1 hfill crx,,;,,,1

3. Trả lời câu hỏi 3 trang 23 sgk Giải tích 12




*

Vậy quý hiếm nhỏ tuổi duy nhất của hàm số đã chỉ ra rằng $ -1$ tại $x = 0$.Dưới đấy là Hướng dẫn giải bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12. Các bạn hãy tham khảo kỹ đầu bài trước khi giải nhé!

Bài tập

zombiewar.vn trình làng cùng với chúng ta không thiếu cách thức giải bài xích tập giải tích 12 kèm bài xích giải bỏ ra tiết bài 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12 của Bài §3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ dại tuyệt nhất của hàm số vào Chương 1. Ứng dụng đạo hàm nhằm khảo sát với vẽ đồ dùng thị hàm số đến các bạn xem thêm. Nội dung chi tiết bài bác giải từng bài bác tập các bạn xem bên dưới đây:

*
Giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12

1. Giải bài xích 1 trang 23 sgk Giải tích 12

Tính cực hiếm lớn số 1, giá trị nhỏ duy nhất của hàm số:

a) (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35) bên trên những đoạn (<-4; 4>) với (<0;5>).

b) (y = x^4 – 3x^2 + 2) bên trên các đoạn (<0;3>) với (<2;5>).

c) (y =frac (2-x)(1-x)) trên các đoạn (<2;4>) với (<-3;-2>).

d) (y =sqrt(5-4x)) bên trên đoạn (<-1;1>).

Bài giải:

a) Xét hàm số (y = x^3 – 3x^2 – 9x + 35)

– Tập xác minh (D=mathbbR).

– Hàm số thường xuyên bên trên những đoạn <-4;4> và <0;5> đề xuất bao gồm GTLN cùng GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x2 – 6x – 9 = 3(x2 – 2x – 3)

♦ Trên đoạn <-4;4>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarrayl x = 3 in left< – 4;4 ight>\ x = – 1 in left< – 4;4 ight> endarray ight.)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Xem thêm: Driver Máy In Hp Laserjet P1102, Hp Laserjet Pro P1102W Printer Driver

Vậy:

– Giá trị lớn số 1 của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 1) = 40).

– Giá trị nhỏ dại độc nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< – 4;4 ight> = y( – 4) = – 41.)

♦ Trên đoạn <0;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = 3 in left< 0;5 ight>\ x = – 1 otin left< 0;5 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

– Giá trị lớn nhất của hàm số là (mathop max ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(5) = 40.)

– Giá trị bé dại tuyệt nhất của hàm số là (mathop min ylimits_x in left< 0;5 ight> = y(3) = 8.)

b) Xét hàm số (y = x^4 – 3x^2 + 2)

– Tập khẳng định $D=R$

– Hàm số thường xuyên trên các đoạn (<0;3>) với (<2;5>) phải có GTLN và GTNN trên các đoạn này:

– Đạo hàm: y’=4x3-6x.

♦ Trên đoạn <0;3>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 0;3 ight>\ x = 0 in left< 0;3 ight>\ x = sqrt frac32 in left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(0)=2; (yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14); y(3)=56.

Vậy:

– Giá trị lớn nhất của hàm số:(mathop max ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( 3 ight) = 56.)

– Giá trị nhỏ duy nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 0;3 ight> = yleft( sqrt frac32 ight) = – frac14.)

♦ Trên đoạn <2;5>:

(y’ = 0 Leftrightarrow left< eginarray*20l x = – sqrt frac32 otin left< 2;5 ight>\ x = 0 otin left< 2;5 ight>\ x = sqrt frac32 otin left< 0;3 ight> endarray ight.)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

– Giá trị lớn nhất của hàm số (mathop max ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 6 ight) = 552.)

– Giá trị bé dại độc nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;5 ight> = yleft( 2 ight) = 6.)

c) Xét hàm số (y =frac (2-x)(1-x))

Hàm số bao gồm tập xác định D = R 1 cùng tiếp tục trên những đoạn <2;4> cùng <-3;-2> ở trong D, vì vậy hàm số tất cả GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta gồm :

Ta có: (y’=frac1.left( -1 ight)-1.left( -2 ight)left( x-1 ight)^2=frac1left( x-1 ight)^2>0 forall x e 1.)

Với (D=left< 2; 4 ight>) có: (yleft( 2 ight)=0; yleft( 4 ight)=frac23.)

Vậy (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmin ,y=0 khi x=2) với (undersetxin left< 2; 4 ight>mathopmax ,y=frac23 khi x=4.)

♦ Trên đoạn <2;4>: (y(2)=0;y(4)=frac23.)

Vậy:

– Giá trị nhỏ nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 2 ight) = 0.)

– Giá trị lớn nhất của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< 2;4 ight> = yleft( 4 ight) = frac23.)

♦ Trên đoạn <-3;-2>: (y(-3)=frac54;y(-2)=frac43.)

Vậy:

– Giá trị nhỏ tuổi nhất của hàm số: (mathop min ylimits_x in left< – 3;-2 ight> = yleft( – 3 ight) = frac54.)

– Giá trị lớn số 1 của hàm số: (mathop max ylimits_x in left< – 3; – 2 ight> = yleft( – 2 ight) = frac43.)

d) Xét hàm số (y =sqrt(5-4x))

Hàm số gồm tập xác định ( mD = left( – infty ;frac54 ight>) buộc phải khẳng định cùng liên tiếp trên đoạn <-1;1>, vì thế bao gồm GTLN, GTNN bên trên đoạn <-1;1>.

Ta có:(y’ = – frac2sqrt 5 – 4x

2. Giải bài xích 2 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong số các hình chữ nhật thuộc tất cả chu vi 16 cm, hãy tìm kiếm hình chữ nhật bao gồm diện tích lớn nhất.

Bài giải:

♦ Cách 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu $x, y$ thiết bị trường đoản cú là chiều nhiều năm cùng chiều rộng của hình chữ nhật $(0 x>0; 8>y>0)$.

khi đó chu vi: $p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.$

Ta có diện tích S của hình chữ nhật là:

$S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x^2 + 8x$.

Xét hàm số: $S(x) = -x$2 + 8x$ bên trên khoảng chừng $(0, 8)$ ta có:

$S’=-2x + 8; S’= 0 ⇔ x=4$

Bảng trở nên thiên:

*

Từ bảng đổi mới thiên ta thấy hàm số đạt cực hiếm lớn nhất trên x=4 lúc đó maxS = 16.

Với $x=4$ suy ra $y=4$.

Vậy hình vuông bao gồm cạnh bằng $4$ là hình bao gồm diện tích lớn số 1.

3. Giải bài bác 3 trang 24 sgk Giải tích 12

Trong toàn bộ các hình chữ nhật thuộc bao gồm diện tích S $48 m^2$, hãy xác minh hình chữ nhật bao gồm chu vi bé dại độc nhất vô nhị.

Bài giải:

♦ Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

*

♦ Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để search quý hiếm lớn nhất cùng bé dại độc nhất vô nhị của hàm số

Gọi x,y theo lần lượt là chiều nhiều năm với chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

lúc kia chu vi của hình chữ nhật là (p=2(x+y) Leftrightarrow p=2x+frac96x.)

Xét hàm số (Pleft( x ight)=2left( x+dfrac48x ight)) bên trên (left( 0;+infty ight)) ta có:

(eginarraylP’left( x ight) = 2left( 1 – dfrac48x^2 ight) Rightarrow P’left( x ight) = 0 Leftrightarrow x^2 – 48 = 0\Leftrightarrow x^2 = 48 Leftrightarrow left< eginarraylx = 4sqrt 3 ; in left( 0; + infty ight)\x = – 4sqrt 3 ;; otin left( 0; + infty ight)endarray ight..endarray)

Ta có: (Pleft( 4sqrt3 ight)=16sqrt3.)

(eginalign và undersetx o 0mathoplyên ,Pleft( x ight)=undersetx o 0mathoplyên ổn , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và undersetxlớn +infty mathoplim ,Pleft( x ight)=undersetxkhổng lồ +infty mathoplim , 2left( x+dfrac48x ight)=+infty . \ và Rightarrow Min Pleft( x ight)=16sqrt3 khi x=4sqrt3. \ & Rightarrow y=dfrac484sqrt3=4sqrt3m. \ endalign)

Bảng trở nên thiên:

*

Từ bảng thay đổi thiên ta có: (min p = 16sqrt 3) Khi (x = 4sqrt 3 ,).

Với (x = 4sqrt 3 ,Rightarrow y=frac48x=4sqrt 3).

Vậy hình vuông vắn tất cả cạnh (4sqrt 3 ,) là hình tất cả chu vi nhỏ tuyệt nhất theo yên cầu bài xích tân oán.

4. Giải bài bác 4 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính quý hiếm lớn nhất của những hàm số sau:

a) (y=frac41+x^2).

b) (y=4x^3-3x^4).

Bài giải:

a) (y=frac41+x^2.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=frac-2x.4left( 1+x^2 ight)^2=frac-8xleft( 1+x^2 ight)^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 8x=0Leftrightarrow x=0.)

(undersetx o pm infty mathopllặng ,frac41+x^2=0.)

Ta gồm bảng biến đổi thiên:

*

Từ bảng đổi mới thiên ta thấy hàm số đạt GTLN trên (x=0; undersetRmathopmax ,y=4.)

b) (y=4x^3-3x^4.)

Tập xác định: (D=R.)

Ta có: (y’=12x^2-12x^3Rightarrow y’=0Leftrightarrow 12x^2-12x^3=0Leftrightarrow left< eginalign& x=0 \ và x=1 \ endalign ight..)

(undersetx o pm infty mathoplyên ,y=undersetxlớn pm infty mathoplim ,left( 4x^3-3x^4 ight)=-infty .)

Ta có bảng trở thành thiên:

*

Theo bảng trở thành thiên ta thấy hàm số đạt GTLN trên (x=1; undersetRmathopmax ,y=1.)

5. Giải bài bác 5 trang 24 sgk Giải tích 12

Tính quý giá bé dại độc nhất vô nhị của những hàm số sau:

a) (y = left | x ight |);

b) (y = x+frac4x ( x > 0))

Bài giải:

a) (y=left| x ight|.)

Ta có: y = |x| ≥ 0 ∀ x

Tập xác định: (D=R.)

Ta có bảng thay đổi thiên:

*

Từ bảng vươn lên là thiên ta tất cả hàm số đạt GTNN trên (x=0; undersetRmathopmin ,=0.)

b) (y=x+frac4x left( x>0 ight).)

Ta có: (y’=1-frac4x^2Rightarrow y’=0Leftrightarrow 1-frac4x^2=0Leftrightarrow x^2-4=0Leftrightarrow left< eginalignvà x=-2 otin left( 0;+infty ight) \ & x=2in left( 0;+infty ight) \ endalign ight..)

Bảng biến hóa thiên:

*

Từ bảng biến thiên ta thấy: (undersetleft( 0;+infty ight)mathopMin,y=4 khi x=2.)

Bài trước:

Bài tiếp theo:

Chúc các bạn có tác dụng bài xích xuất sắc cùng giải bài xích tập sgk tân oán lớp 12 với giải bài xích 1 2 3 4 5 trang 23 24 sgk Giải tích 12!